Doğada gözlediğimiz sistemlerde ortak bir yapı, temel bir benzeşim olmakla birlikte bu karmaşık yapıyı lineer (çizgisel) ve sürekli denklemlerle ifade etmek mümkün değildir. İlk bakışta çok karmaşık gibi görünen pek çok doğa olayında ortak bir tabanın bulunduğu görüşü artık kaçınılmaz bir gerçek olarak beliriyor. Bu tabanın adına matematikçiler, alışık olduğumuz 3 boyuttan farklı olarak, kesirli boyut içerdiğinden
Fraktal
demişlerdir.
Fraktal yapıları
oluşturan matematiğin kökeninde lineer olmayan bir denklemin
kendi üzerine dönerek
‘iteratif’
tekrarı bulunur. Bu tür fraktal yapılara örnek olarak gökteki
bulutları, ağaçların dal ve yapraklarını, akciğerlerin
içyapısını, parmak izlerini, süngerleri hatta deniz kıyılarını
dahi gösterebiliriz. Hepsi de istatistik olarak kendilerine
benzerler. Fraktal matematik, bilgisayarların ortaya çıkışı
ile birlikte bir sanat dalı olarak o kadar ileri gitmiştir ki
doğadaki oluşumları büyük bir gerçeklikle
kurgulayabilmektedir.
Henri Poincaré (1854-1912) daha 1890 yılında kendine benzeyen matematik fonksiyonları incelemiş ve 1890 yılında “Otomorf fonksiyonlar hakkında” başlıklı bir kitap yayınlamıştır. Fraktal bir yapıyı matematik bir temelden başlayarak görüntü halinde dünyaya sunan kişi Benoit Mandelbrot (d.1924) olmuştur. Mandelbrot’un geliştirmiş olduğu fraktal matematiği basit bir denklemden başlayarak ve sürekli kendini tekrar ederek gittikçe karmaşık hale dönüşen, fakat temel benzeşimini koruyan geometrik yapıları gözler önüne sermiştir.
Fraktal matematiği ile klasik Öklid matematiği arasında şu temel farklar vardır: Öklid matematiğinde sonlu şekiller ve sürekli fonksiyonlar bulunur. Fraktal matematiğinde ise şekiller sonlu olmayıp fonksiyonlar süreksiz adımlarla gelişir. Ayrıca Öklid matematiği insan yapısı nesneleri tanımlamakta başarılı iken, fraktal matematiği doğal yapıları tanımlamakta daha başarılıdır. İlk yayınlandıkları 1975 yılından bu yana matematik fraktallar hem bir sanat kolu hem de yeni bir matematik dalı oluşturmuşlardır. Matematik fraktalları inceleyen fizikçi Mitchell Feingenbaum (d. 1944) ise karmaşa (kaos) kuramının temellerini atarak fizik bilimine yeni bir araştırma alanı açmıştır. Doğadaki karmaşık ve kaotik yapının ortaya çıkmasını sağlayan,
belli bir noktada ‘çatallaşma’ diyebileceğimiz
mekanizma ile sistemin yeni dallara bölünmesi ve farklı
yönlere doğru gelişimin devam etmesidir. Bu şekil bir
matematik fonksiyonun gelişimini gösteriyor. Fonksiyon kendi
üzerine dönüşümlü, iteratif bir fonksiyondur. Önce tek bir
değer olarak gelişen fonksiyon, bir anda iki çatala ayrılıyor.
İterasyonlar devam ettikçe çatallaşmalar hem artıyor hem de
daha sık aralıklarla oluşmaya başlıyorlar. Yani bölünme ve
farklılaşma önce yavaş sonraları gittikçe daha hızlı olmaya
başlıyor. Fakat temel yapı hep kendine benzeyerek çeşitlilik
oluşturuyor. Bu temel yapının gelişimini zaman içinde
değerlendirirsek türlerin oluşumunu ve basitten karmaşığa
doğru değişik türlerin gelişimini kavrayabiliriz. Kavrama sözü
ile mantıksal bir açıklamayı değil, sezgisel bir aydınlanmayı
kastediyorum.
Şekil-1’de tek bir
matematik fonksiyonun kendi üzerine süreksiz adımlarla
dönüşümü sonucunda ortaya çıkan karmaşık yapı görülmektedir.
Günümüzde, bilgisayarlar sayesinde basit diferansiyel
denklemlerle açıklanamayan doğal yapıları ve dinamik
oluşumları fraktal matematiği ile açıklayabilen yeni bir
Karmaşa bilimi gelişmek üzeredir. “Karmaşık yapılar” deyince sonucu tahmin edilemeyen, lineer denklemlere dökülemeyecek kadar girift olaylar ve oluşumlar kastediliyor. Sayıların renklere dönüşümü sayesinde çok karmaşık bir gelişim sürecini, bütüncül olarak, tek bir dinamik resim olarak izleyebilmekteyiz. Fraktal geometride incelenen nesnenin veya olayın boyu önemli değildir. Bu bakımdan fizik alanında, evrendeki makro yapılardan biyolojinin mikro yapılarına kadar, çeşitli alanlarda fraktal geometrisi kullanım bulacaktır. Bugün için sanat alanı olarak kabul edilen fraktal geometrisi gelecekte iklim biliminde, biyolojide ve genetikte, tıpta, hatta ekonomide bile uygulama alanları bulacaktır.
Canlı sistemlerin gelişimini incelediğimizde fraktal yapılara
benzeyen iki önemli benzerlik bulmaktayız. Bunlar:
-
Canlı sistemlerde doğrusal (lineer) olmayan
bir özellik bulunmaktadır ve,
-
Canlı sistemler kendilerine benzeyen yapılar oluşturarak dönüşmektedirler.
Bu iki
özelliği farklı sözlerle ifade etmek gerekirse “canlı sistemlerde süreksiz bir
süreklilik bulunur” veya “doğada hem süreklilik hem süreksizlik
birlikte bulunur” diyebiliriz. Canlı sistemlerin
kendilerine benzeyen yapılar oluşturmaları için kendi
üzerlerine dönüşen bir özelliğe sahip olmaları gerekir.
Günümüze kadar geliştirilmiş olan doğa bilimi olan fizik
biliminde hep trigonometrik lineer fonksiyonlar
kullanılmıştır. Fakat bu fonksiyonlarda belirsizlik
bulunmadığından, bu fonksiyonlarla doğanın karmaşık yapısı
asla açıklanamamıştır. Görüyoruz ki kendi üzerine dönüşüm
içeren Fraktal yapılar sadece statik, durağan resimler
olarak karşımıza çıkmıyorlar, aynı zamanda doğada hareket
halinde olan canlı ve cansız yapıların da davranışlarını
açıklıyorlar. Örneğin, mercanların ve süngerlerin oluşuna,
akarsuların türbülansına, yükselen dumanın karmaşık
görüntüsüne, değişen iklim şartlarına dinamik fraktallar
olarak bakabiliriz.
Çizgisel bir gelişme göstermeyen sistemlerde, çok yakın
başlangıç şartları dahi çok farklı sonuçlar verebilirler. İşte
Karmaşa kuramında “Kelebek etkisi”
denen olay budur. Eğer gelişim ve etkileşim çizgisel olmayıp
karmaşık ise bir kelebeğin kanat çırpışı kadar ufak bir olay
sonuçları tahmin edilemeyecek kadar büyük sonuçlara yol
açabilir. Deprem, çığ ve tsunami gibi doğal afetleri
tetikleyen küçük bir olay olabilir.
Koch fraktalı
Şekil
-2’nin sol üst köşesinde görülen eşkenar bir üçgenle işe
başlayalım. Her kenarı üçe bölüp orta kısma yeni bir eşkenar
üçgen ekleyelim. Bu işlemi sürdürdükçe üçgenler küçülecek
şeklin kenar uzunluğu artacaktır. Bir kenarının uzunluğu 1
birim olan bir eşkenar üçgende oluşturulan bu süreksiz
değişiklikler gittikçe bir kar kristaline benzeyecek ve kenar
uzunluğu 3x(4/3)x(4/3)x(4/3)…… çarpımı uyarınca artacaktır.
Bu şekli ilk düşünen kişi İsveçli matematikçi Niels Helge von
Koch (1870-1924) olduğundan şekle Koch
eğrisi denir. Koch eğrisi Şekil -2’nin alt kısmında
görüldüğü gibi bir çizgi içermesine rağmen sürekli bir eğri
değildir. Süreksiz adımlarla oluşmuş kapalı bir alan içerse de
iki boyutlu bir düzlem değildir. Şu halde ne tek boyutlu bir
çizgi ne de iki boyutlu bir alan olarak düşünülmelidir. Tek
boyut ile iki boyut arasında kesirli bir boyut içeren bir
fraktaldir.
Doğal
olarak oluşan kar kristallerinin 3 atom (iki hidrojen bir
oksijen atomu olan H2O) içeren su moleküllerinden ibaret
oldukları hatırlanırsa, kar kristallerini birer Koch fraktali
olarak görebiliriz.
Fraktal sünger
Şekil
-3’ün solunda, orta bölgesinde kare bir delik bulunan bir kare
görülüyor. Bu karenin dolu bölgelerine bakarsak 8 adet eşit
boyda kare görürüz. İkinci adımda bu 8 karenin orta
bölgelerinde oranı korumak şartıyla daha küçük kare delikler
açalım. Aynı oranı koruyarak süreksiz adımları tekrarlarsak
gittikçe küçülen ve sayıları artan deliklerden oluşmuş bir
halı elde ederiz. Bu halıyı ilk düşünen matematikçi Waclaw
Sierpinski (1882-1969) olduğundan delikli yüzeye Sierpinski halısı denir.
Resmin
sağında görülen 3-boyutlu şekil Sierpinski halısının 3-boyutlu
uzantısıdır. Bu fraktal küp, matematikçi Karl Menger
(1902-1985) tarafından düşünüldüğünden “Menger süngeri” olarak bilinir. Bu süngerin boyutu 2
ile 3 arasındadır. Çünkü hem iki boyutlu bir yüzey gibi
herhangi bir noktasından başlayarak hiç yüzeyden ayrılmadan
herhangi bir diğer noktaya ulaşılabilir, hem de üç boyutlu bir
nesne gibi uzay içinde yer kaplar. Şu halde Menger süngeri2
ile 3 boyut arasında kesirli boyut
içeren fraktal bir yapıdır.
Doğal
süngerlerin bu tür düzgün delikleri bulunmasa da, onları da
kesirli boyut içeren fraktal yapılar olarak düşünebiliriz.
|