Doğal
görüntüler
Şimdiye kadar gördüğümüz örnekler geometrik şekilleri
içerdiklerinden doğal oluşumlara olan benzerlikleri oldukça
azdı. Bilgisayar teknolojisinin gelişimi sayesinde doğal
oluşumlara çok daha fazla benzeyen matematik fraktallar
oluşturulmuştur. Şekil - 4’de fraktal bir çam dalını ve Şekil
-5’de fraktal bir dağ ile göl manzarasını farklı açılardan
görmekteyiz.
Lorenz fraktalı
Fraktal matematiği sayesinde sadece doğadaki statik
görüntüleri değil, dinamik ve karmaşık olayları da kurgulamak
mümkündür. Bir iklim bilimci (meterolog) olan Edward
Lorenz (1917-2008) atmosferde oluşan rüzgâr, fırtına, tayfun
gibi dinamik hava akımlarını kurgulayan bir model
geliştirmişti. Bu modeli bilgisayarda çalıştırınca mevsimler
boyunca oluşan farklı atmosferik olaylar yazıcıya sayısal
olarak aktarılmakta idi. Günün birinde Lorenz başlangıç
zamanları sadece birkaç dakika farklı olan iki çıktıyı
karşılaştırmayı düşündü. Bu iki çıktının uzun süreli
sonuçlarında pek az fark bulunacağını tahmin ediyordu. Oysa
ki, sonuçlarda büyük farklar ortaya çıktığını hayretle gördü.
Aynı durum birbirlerine yakın seçilen herhangi iki başlangıç
zamanında tekrarlanıyordu. Başlangıç zamanlarındaki küçük
farklar süre uzadıkça artıyor ve tümüyle önceden belirlenmesi
olanaksız hale dönüşüyordu.
Lorenz’in denklemleri kendi üzerlerine dönerek oluştuklarından
süreksiz adımlar içeriyorlar. Ortaya çıkan sonuçlar sürekli
bir fonksiyon olarak çizildiğinde bir kelebeğin kanatlarına
benzeyen Şekil -6’daki görüntü ortaya çıkar. Bu şekil
“Lorenz fraktalı”
veya
“Lorenz tuhaf
çekicisi” olarak meşhur oldu ve
karmaşa kuramının başlangıcını oluşturdu. Kayalardan akan
suyun türbülansı, yükselen sigara dumanının hareketi,
fırtınalı rüzgârlar, tayfunlar, borsa hareketleri, zarların
yuvarlanışı, kalbin fibrilasyona girmesi gibi çok farklı
olaylar karmaşa kuramı ile açıklanabiliyor. Bir ağacın yeni
bir budak vererek dal oluşturması, hatta kan damarlarının
oluşumu dahi Lorenz Fraktalindeki parametrenin belirli
birtakım değerler arasında kaldığı durumlarda
gerçekleşebiliyor. Bir coğrafi bölgede bazı tür hava
akımlarının oluşumu (hortum, tayfun, muson rüzgarları gibi)
belirgin bir sıcaklık aralığına bağlı olduğunu ve aynı olayın
farklı sıcaklık aralıklarında neden oluşmadığını Lorenz
fraktali sayesinde daha iyi anlıyoruz.
Tuhaf çekici
Lorenz
fraktalına baktığımızda söz konusu dinamik sistemin iki merkez
etrafında dolandığını fakat her yörüngenin bir öncekinden
farklı olduğunu görüyoruz. Bu tür çekici merkezlere anlam
verilemediğinden, bunlara “tuhaf çekici” denmiştir. Olayı
anlayabilmek için basit bir denklemden hareket edelim.
Denklemimiz bir x sayısı ile bir sabit k parametresi içersin
ve kendi üzerine dönüşümlü olsun. Ayrıca denklemimizin bir
doğruyu tanımlamaması, yani lineer olmaması gerekiyor. Basit
bir örnek:
Xn+1
= k.Xn – k.(Xn)2
Denkleminde n+1 inci adımdaki sayıyı hesaplamak için n’inci
adımdaki sayıdan yararlanılır. Bu bakımdan süreksiz
iterasyonlar yapmak gerekecektir. Örneğin, Şekil -7’nin sol
tarafında görülen grafikte k = 2.6 ve X1 = 0.31
seçildiğinde X = 0.61534 değeri tek bir tuhaf çekiciyi
oluşturur. Bu değere ulaşmak için 15 iterasyon yeterlidir.
Şeklin ortasındaki grafikte iki adet tuhaf çekici k = 3 ve X1
= 0.32 değerleri ile oluşuyor. Bu iki tuhaf çekicinin
değerleri X1 = 0.653 ve X2 = 0.680
değerleri arasında gidip gelir. En sağ grafikte ise k = 3.7 ve
X1 = 0.72 değerleri seçildiğinde X değerleri
tümüyle karmaşık (kaotik) bir davranış içine girer.
Farklı k
değerleri çok farklı sonuçlara yol açmaktadır. k = 2.6 için
sistem denge durumuna ulaşırken, k = 3 için sistem sürekli
salınım yapıyor ve k = 3.7 değerinde karmaşık bir davranış
içine giriyor. Her üç davranış türünü sergileyen birçok sistem
bulunmaktadır. Hepimizin bildiği en basit örnek damlayan bir
musluktur. Musluktan damlayan iki damla arasında geçen zaman
süresi sabit olabileceği gibi değişken de olabilir. Bu
değişkenliği oluşturan çok küçük dış etkilerdir. Örneğin, su
borusundaki bir titreyiş veya hafif bir hava akımı karmaşık
davranışa neden olabilir. Böyle bir deney yapılmış ve
Scientific American dergisinin Aralık 1986 sayısında
yayınlanmıştır. Şekil -8in solunda ve ortasında musluktan
belli bir düzen içinde damlayan damlalar görülüyor. Bu
damlaları bir mikrofon üzerine düşürterek çıkan ses kayıt
edilmiştir. Belli bir anda damlalar Şekil - 8’in sağ tarafında
görüldüğü gibi iki damlanın arasında geçen süre karmaşık bir
düzen oluşturur.
Bu basit
örnekten anlıyoruz ki, mikroskopik etkiler makroskopik
sonuçlara yol açabilirler. Ancak, aradaki ilişki
belirlenebilen türden, doğrusal (lineer) bir sebep-sonuç
ilişkisi içinde oluşmaz. Bu bakımdan geleceği kesinlikle
tahmin etmek mümkün değildir. Bu ifadede “kesinlikle” sözünün
altı özel olarak çizilmiştir. Çünkü karmaşa kuramında beliren
makro düzensizliğin kaynağı mikro düzeydeki, tahmini mümkün
olmayan minik boyutlu karmaşık düzensizliklerdir.
Kesirli Fraktal Boyut
Kesirli
boyutun ne şekilde ortaya çıktığını bu bölümde aktarmak
istiyorum. Kesirli boyut sadece fraktal yapılara ait bir
özelliktir. Kendine benzeyerek gelişen ve değişen tüm
yapılarda bu özellik bulunur. Örnek olarak alttaki Şekil – 9’a
bakalım.
Kırmızı
düz çizgiyi kendine benzeyen eşit parçalara bölelim. Bu
sayı N olsun. Görüldüğü gibi 2ye böldüğümüzde N = 2 ve 3e
böldüğümüzde N = 3 oluyor. L ise bir kenarın küçülme oranı
olsun. İlk iterasyonda kenar önce ikiye sonra da üçe
bölünüyor. Şu halde N = LD veya her iki
tarafın logaritmasını alırsak log(N) = D log(L) olur. Yani:
D = log(N) / log(L)
Altta
görülen Sierpinski üçgenine (Şekil – 10) bu formülü
uygulayalım.
İlk
iterasyonda ortadan bir üçgen çıkarılınca geriye 3 tane eşit
küçük üçgen ve bir kenar da 2 parçaya bölünmüş oluyor. İlk
iterasyon için N = 3 ve L = 2 ve bir sonraki iterasyonda N = 9
ve L = 4 olur. Şu halde,
D =
log(3)/ log(2) = 0.47712 / 0.30103 = 1.58496 elde ederiz.
Keza.
D =
log(9)/ log(4) = 0.95424 / 0.60206 = 1.58496 olur.
Tüm
daha yüksek iterasyonlar da aynı değeri verir. Şu halde
Sierpinski üçgeni sonuçta (sonsuz sayıda iterasyon
yapıldığında) ne bir yüzey ne de bir çizgi olarak
tanımlanabilir. Zira boyutu 1 ile 2 arasında bir değere
sahiptir. Tüm fraktal yapılar da benzer şekilde kesirli boyut
sahibidirler.
|