Meta Bilim

WWW.ASTROSET.COM

EVRENİN FRAKTAL YAPISI -2

Doç.Dr. Haluk BERKMEN

 Doğal görüntüler
  Şimdiye kadar gördüğümüz örnekler geometrik şekilleri içerdiklerinden doğal oluşumlara olan benzerlikleri oldukça azdı. Bilgisayar teknolojisinin gelişimi sayesinde doğal oluşumlara çok daha fazla benzeyen matematik fraktallar oluşturulmuştur. Şekil - 4’de fraktal bir çam dalını ve Şekil -5’de fraktal bir dağ ile göl manzarasını farklı açılardan görmekteyiz.

  Lorenz fraktalı
   Fraktal matematiği sayesinde sadece doğadaki statik görüntüleri değil, dinamik ve karmaşık olayları da kurgulamak mümkündür.  Bir iklim bilimci (meterolog) olan Edward Lorenz (1917-2008) atmosferde oluşan rüzgâr, fırtına, tayfun gibi dinamik hava akımlarını kurgulayan bir model geliştirmişti. Bu modeli bilgisayarda çalıştırınca mevsimler boyunca oluşan farklı atmosferik olaylar yazıcıya sayısal olarak aktarılmakta idi. Günün birinde Lorenz başlangıç zamanları sadece birkaç dakika farklı olan iki çıktıyı karşılaştırmayı düşündü. Bu iki çıktının uzun süreli sonuçlarında pek az fark bulunacağını tahmin ediyordu. Oysa ki, sonuçlarda büyük farklar ortaya çıktığını hayretle gördü. Aynı durum birbirlerine yakın seçilen herhangi iki başlangıç zamanında tekrarlanıyordu. Başlangıç zamanlarındaki küçük farklar süre uzadıkça artıyor ve tümüyle önceden belirlenmesi olanaksız hale dönüşüyordu.

  Lorenz’in denklemleri kendi üzerlerine dönerek oluştuklarından süreksiz adımlar içeriyorlar. Ortaya çıkan sonuçlar sürekli bir fonksiyon olarak çizildiğinde bir kelebeğin kanatlarına benzeyen Şekil -6’daki görüntü ortaya çıkar. Bu şekil “Lorenz fraktalı” veya “Lorenz tuhaf çekicisi” olarak meşhur oldu ve karmaşa kuramının başlangıcını oluşturdu. Kayalardan akan suyun türbülansı, yükselen sigara dumanının hareketi, fırtınalı rüzgârlar, tayfunlar, borsa hareketleri, zarların yuvarlanışı, kalbin fibrilasyona girmesi gibi çok farklı olaylar karmaşa kuramı ile açıklanabiliyor. Bir ağacın yeni bir budak vererek dal oluşturması, hatta kan damarlarının oluşumu dahi Lorenz Fraktalindeki parametrenin belirli birtakım değerler arasında kaldığı durumlarda gerçekleşebiliyor. Bir coğrafi bölgede bazı tür hava akımlarının oluşumu (hortum, tayfun, muson rüzgarları gibi) belirgin bir sıcaklık aralığına bağlı olduğunu ve aynı olayın farklı sıcaklık aralıklarında neden oluşmadığını Lorenz fraktali sayesinde daha iyi anlıyoruz.

Tuhaf çekici

  Lorenz fraktalına baktığımızda söz konusu dinamik sistemin iki merkez etrafında dolandığını fakat her yörüngenin bir öncekinden farklı olduğunu görüyoruz. Bu tür çekici merkezlere anlam verilemediğinden, bunlara “tuhaf çekici” denmiştir. Olayı anlayabilmek için basit bir denklemden hareket edelim. Denklemimiz bir x sayısı ile bir sabit k parametresi içersin ve kendi üzerine dönüşümlü olsun. Ayrıca denklemimizin bir doğruyu tanımlamaması, yani lineer olmaması gerekiyor. Basit bir örnek:

X_n+1 = k.X_n – k.(X_n)²

  Denkleminde n+1 inci adımdaki sayıyı hesaplamak için n’inci adımdaki sayıdan yararlanılır. Bu bakımdan süreksiz iterasyonlar yapmak gerekecektir. Örneğin, Şekil -7’nin sol tarafında görülen grafikte k = 2.6 ve X₁ = 0.31 seçildiğinde X = 0.61534 değeri tek bir tuhaf çekiciyi oluşturur. Bu değere ulaşmak için 15 iterasyon yeterlidir.  Şeklin ortasındaki grafikte iki adet tuhaf çekici k = 3 ve X₁ = 0.32 değerleri ile oluşuyor. Bu iki tuhaf çekicinin değerleri X₁ = 0.653 ve X₂ = 0.680 değerleri arasında gidip gelir. En sağ grafikte ise k = 3.7 ve X₁ = 0.72 değerleri seçildiğinde X değerleri tümüyle karmaşık (kaotik) bir davranış içine girer.

  Farklı k değerleri çok farklı sonuçlara yol açmaktadır. k = 2.6 için sistem denge durumuna ulaşırken, k = 3 için sistem sürekli salınım yapıyor ve k = 3.7 değerinde karmaşık bir davranış içine giriyor. Her üç davranış türünü sergileyen birçok sistem bulunmaktadır. Hepimizin bildiği en basit örnek damlayan bir musluktur. Musluktan damlayan iki damla arasında geçen zaman süresi sabit olabileceği gibi değişken de olabilir. Bu değişkenliği oluşturan çok küçük dış etkilerdir. Örneğin, su borusundaki bir titreyiş veya hafif bir hava akımı karmaşık davranışa neden olabilir. Böyle bir deney yapılmış ve Scientific American dergisinin Aralık 1986 sayısında yayınlanmıştır. Şekil -8in solunda ve ortasında musluktan belli bir düzen içinde damlayan damlalar görülüyor. Bu damlaları bir mikrofon üzerine düşürterek çıkan ses kayıt edilmiştir. Belli bir anda damlalar Şekil - 8’in sağ tarafında görüldüğü gibi iki damlanın arasında geçen süre karmaşık bir düzen oluşturur.

  Bu basit örnekten anlıyoruz ki, mikroskopik etkiler makroskopik sonuçlara yol açabilirler. Ancak, aradaki ilişki belirlenebilen türden, doğrusal (lineer) bir sebep-sonuç ilişkisi içinde oluşmaz.  Bu bakımdan geleceği kesinlikle tahmin etmek mümkün değildir. Bu ifadede “kesinlikle” sözünün altı özel olarak çizilmiştir. Çünkü karmaşa kuramında beliren makro düzensizliğin kaynağı mikro düzeydeki, tahmini mümkün olmayan minik boyutlu karmaşık düzensizliklerdir.

Kesirli Fraktal Boyut

  Kesirli boyutun ne şekilde ortaya çıktığını bu bölümde aktarmak istiyorum. Kesirli boyut sadece fraktal yapılara ait bir özelliktir. Kendine benzeyerek gelişen ve değişen tüm yapılarda bu özellik bulunur. Örnek olarak alttaki Şekil – 9’a bakalım.

  Kırmızı düz çizgiyi kendine benzeyen eşit parçalara bölelim. Bu sayı N olsun. Görüldüğü gibi 2ye böldüğümüzde N = 2 ve 3e böldüğümüzde N = 3 oluyor. L ise bir kenarın küçülme oranı olsun. İlk iterasyonda kenar önce ikiye sonra da üçe bölünüyor. Şu halde  N = L^D   veya  her iki tarafın logaritmasını alırsak  log(N) = D log(L) olur. Yani:

                   D = log(N) / log(L)

  Altta görülen Sierpinski üçgenine (Şekil – 10) bu formülü uygulayalım.

  İlk iterasyonda ortadan bir üçgen çıkarılınca geriye 3 tane eşit küçük üçgen ve bir kenar da 2 parçaya bölünmüş oluyor. İlk iterasyon için N = 3 ve L = 2 ve bir sonraki iterasyonda N = 9 ve L = 4 olur. Şu halde,

D = log(3)/ log(2) = 0.47712 / 0.30103 = 1.58496 elde ederiz. Keza.

D = log(9)/ log(4) = 0.95424 / 0.60206 = 1.58496 olur.

  Tüm daha yüksek iterasyonlar da aynı değeri verir. Şu halde Sierpinski üçgeni sonuçta (sonsuz sayıda iterasyon yapıldığında) ne bir yüzey ne de bir çizgi olarak tanımlanabilir. Zira boyutu 1 ile 2 arasında bir değere sahiptir. Tüm fraktal yapılar da benzer şekilde kesirli boyut sahibidirler.

<<Önceki Bölüm

Yayın Tarihi: 16.Aralık.2009