|
Altın Oran
Tüm
insanlarca estetik olduğu kabul görmüş olan bir sayıdan söz
etmek isterim. Bu sayı “Altın
Oran” olarak bilinen T =
1.618034...şeklinde sürüp giden irrasyonel sayıdır. Bu sayı
sadece matematik bir ilgi odağı olmayıp fizik ve dolayısıyla
doğa ile de yakından ilgilidir. Altın oran çok eski
dönemlerden beri bilinmektedir. Kadim Mısır kültürü ehramların
yapısında bu oranı kullanmış, kadim Yunan filozof ve
matematikle ilgilenen düşünürler de Altın Oranı onlardan
öğrenmiştir. Altın oran
mantığı şudur:
Bir doğru parçasını
öyle bir noktasından bölün ki tüm uzunluğunun uzun parçaya
oranı, uzun parçanın kısa parçaya oranına eşit olsun.Yani,
A
B
l-----------------l-------------l şeklinde bir doğru
parçasında (A + B)/A = A/B olsun.
Kolaylık olsun diye A = x
ve B = 1 seçelim. Bu durumda x2 = x + 1 olur.
Bu denklemi x2 -
x – 1 = 0 şeklinde yazıp köklerini ararsak x(1) =
1.6180339887...ve
x(2) = -
0.6180339887...buluruz. Bu iki kökten pozitif olan x(1)’e
büyük T adını verelim.
T irrasyonel
bir sayıdır. Yani iki tam sayının oranı olarak gösterilemez.
Fakat iki tam sayının oranı kendi üstüne dönüşümlü bir kural
dahilinde T sayısına yaklaşır. Bu kuralı Fibonacci dizisinden
çıkarırız. Asıl adı Leonardo Pissano olan Fibonacci
(1170-1250) İtalyada doğmuş fakat Mısırda büyümüştür.
Matematik meraki da o dönemde çok ileri düzeye ulaşmış İslam
matematiğinden kaynaklanmıştır.
Fibonacci 1,1
çiftinden başlayarak son iki sayının toplamından yeni bir sayı
üretmiş ve bu kendi üstüne dönüşümlü kuralı tekrarlayarak şu
diziyi elde etmiştir:
1,1,2,
3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,.............
Bu dizide ard-arda olan
iki sayıdan büyüğünü küçüğüne bölerseniz görürsünüz ki T
sayısına doğru yakınsar. Örneğin, 233/144 = 1.618055 iken
6765/4181 = 1.618033 olup gittikçe T sayısına doğru
yaklaştığımızı görürüz. Fibonacci sayılarına F(n) dersek
herhangi peş-peşe bir çift için F(n)/F(n-1) => T sayısına
doğru yakınsar fakat asla eşit olmaz. Bu durumun birçok
ilginç açılımı vardır:
1-
İki Fibonacci sayısının peş-peşe oranı kendi üstüne
dönüşümlü bir kural içerir. Bu bakımdan T sayısı sonlu bir
sayı olmayıp sonsuza kadar kesirleri sürer gider. Bu
“irrasyonel” olma özelliği tüm doğa sabitlerinin ortak
özelliğidir.
2-
T sayısı “kuadratik” (kareli terim içeren) bir
denklemin köküdür. Kareli terim ise kendi üstüne dönüşümlü
olduğunda Kaos (karmaşa) yaratır. Doğada birçok oluşum karmaşa
içerir.
Altın Oranı iki
boyutlu bir dikdörtgene uygulayalım. Öyle bir dikdörtgen
bulalım ki uzun kenarı ile kısa kenarının toplamının uzun
kenara oranı, uzun kenarın kısa kenara oranına eşit olsun.
Gene oranın 1.6180339887... olduğunu görürüz. Eğer bu oranı
tekrarlarsak şekildeki gibi bir noktaya doğru yakınsadığını
görürüz. ABEF noktalarından geçen kare CFGK noktalarından
geçen kareye göre kenarı T kadar daha büyüktür. Aynı oranı
defalarca küçülterek tekrarlarsak şekil çok küçük bir kareye
doğru yakınsar. BD ve CE köşegenlerinin kesim noktası şeklin
odak noktasıdır. İki köşegenin oranı ise gene T sayısıdır.
Doğada bu tür spiral
içeren birçok oluşum bulunmaktadır. Hepsi de Altın Oranı
içerirler.
 
Üstte
Nautilüs adı verilen bir deniz kabuklusu ve yanında deniz
yıldızı. Altta solda ise Altın Oran içeren bir fosil ve sağda
bir çiçek.
 
Doğada estetik duygusu uyandıran diğer sabitler л ve e
sayılarıdır. Bunlar da birer irrasyonel sayıdır. Pi sayısı bir
dairenin çevresinin çapına bölümüdür. Altta çapı 1 olan bir
dairenin çevre uzunluğu görülüyor. Fakat asla bu oran kesin
olarak bilinemez. Çünkü doğada indeterminizm, yani belirsizlik
vardır.
Üstte görülen doğa
sabitlerinin her bir karmaşa içeren irrasyonel sayılardır. C
ışık hızı, e sayısı ve h Planck sabiti birer doğa sabiti
olarak kabul edilirler.
Bu
noktada M.Ö. 540-480 yılları arasında yaşamış olan Efesli
Heraklitos’un sözünü hatırlayalım. Heraklitos : “Bir şeyden
bütün şeyler ve birçok şeyin kökeninde duran tek şey”
derken doğada görülen karmaşanın altında bir teklik bulunur ki
bu her var olanın kaynağı olan yaratıcı cevherdir. Muhiddin
İbnül Arabi’nin “Vahdet-i-Vücud” felsefesini hatırlatmak
isterim. Esasında tek bir yaratıcı vardır ve tüm yaratıklar
O’nun bir görüntüsünden başka bir şey değildir. |